1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，开云体育 开云平台图中数字 为两点间距离。

　　若图G=（V，E）的子图T=（V，E’）是树， 则称T为G的部分树或支撑树。 特点——边少、点不少。

　　图只能用来研究事物之间有没有某种关系， 图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而 不能研究这种关系的强弱程度。 不能研究这种关系的强弱程度。

　　一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树， 一个连通的无圈图则称为树 ， 一个林的每个连通子图 都是一个树。 都是一个树。 以下关于树的六种不同描述是等价的： 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： 无圈连通图。 ①无圈连通图。 无圈， ②无圈，q=p-1。 。 连通， ③连通，q=p-1。 。 无圈，但若任意增加一条边， ④ 无圈 ， 但若任意增加一条边 ， 则可得到一个且仅一 个圈。开云体育 开云平台 个圈。 连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 ⑤连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 每一对顶点之间有一条且仅有一条链。 ⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。

　　所谓最大流问题就是在一定的条件下， 所谓最大流问题就是在一定的条件下，要求流过网 络的物流、能量流或信息流等流量为Kaiyun App下载 全站最大的问题， 络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题，在最 大流问题中一般有如下规定： 大流问题中一般有如下规定： ①网络有一个起点υs和一个终点 t 网络有一个起点 和一个终点υ ②网络是有向网络，即流有方向性。 网络是有向网络，即流有Kaiyun App下载 全站方向性。 ③在网络各条弧上都有一个权，表示允许流过的最大流 在网络各条弧上都有一个权， 若以c 表示由υ 的弧上允许流过的最大流量， 量 。 若以 ij 表示由 i 到 υj 的弧上允许流过的最大流量 ， 表示实际流过该弧的流量， 以xij表示实际流过该弧的流量，则0≤ xij ≤cij 网络中，除起点υ 和终点υ 之外的任何顶点， ④网络中 ，除起点 s和终点 t之外的任何顶点， 流入量 总和应该等于流出量的总和。 总和应该等于流出量的总和。

　　若弧(v 上的流量满足x 则称该弧为饱和弧， 若弧 i,vj)上的流量满足 ij=cij，则称该弧为饱和弧， 上的流量满足 否则称为非饱和弧。 否则称为非饱和弧。 若弧(v 上的流量x 若弧 i,vj)上的流量 ij=0。则称该弧为零流弧， 否则 上的流量 。 则称该弧为零流弧， 称为非零流弧。 称为非零流弧。 一条从υ 的初等链是由υ 开始的点、边序列， 一条从 s到υt的初等链是由 s开始的点 、 边序列，其 中没有相同的点，也不考虑弧的方向。 中没有相同的点，也不考虑弧的方向。 把这条链中的υ 方向相同的弧称为正向弧。 把这条链中的 s到υt方向相同的弧称为正向弧。 把这条链中的υ 方向相反的弧称为逆向弧。 把这条链中的 s到υt方向相反的弧称为逆向弧。 在上述的可行流中， 的某个初等链满足： 在上述的可行流中，从υs到υt的某个初等链满足：

　　避圈法是一种选边的过程，其步骤如下： 1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj； 2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中 V 与已选边相关联的点集，  ，  V 不与已选边相关联的点集；  ，

　　4. 重复3，直至终点（本Kaiyun App下载 全站例即v ）标上号[d ,v ]，则 d 即最短距，反向追踪可求出最短路。

　　网络中的最大流量f 网络中的最大流量 max 值大小是由网络 中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。 中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。 最大流－最小割集定理揭示了最小割集（ 最大流－最小割集定理揭示了最小割集（网络中的瓶颈 容量与最大流量的关系， ）容量与最大流量的关系，也提供了一个求最大流的方 法。 割集

　　算法的原理 首先，依据最大流问题的要求， 首先，依据最大流问题的要求，为网络分配 一个可行流。所谓可行流， 一个可行流。所谓可行流，是指所有弧上流 量满足容量限制， 量满足容量限制，所有中间点满足平衡条件 的流； 的流； 若这一可行流的流量就是最大流量， 若这一可行流的流量就是最大流量，则问题 已经解决； 已经解决； 若不是最大流量， 若不是最大流量，则增加流量获得流量更大 的可行流。 的可行流。

　　某汽车公司正在制订5年内购买汽车的计划。 下面给出一辆新汽车的价格以及一辆汽车的使用 维修费用(万元)：

　　所有割集中容量最小的一个割集。 最小割集 所有割集中容量最小的一个割集。 最大流－ 最大流－最小割集定理

　　流过网络的最大流量等于最小割集的容量。 流过网络的最大流量等于最小割集的容量。

　　①其上的正向弧均为非饱和弧。 其上的正向弧均为非饱和弧。 其上的逆向弧均为非零流弧。 ②其上的逆向弧均为非零流弧。 则称该链为一条流量增广链。 2012-3-25

　　网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci ≥ 0 ）。

　　问题：求网络D的部分树，使其权和最小。 方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。 例 2 求如图网络的最小部分树。

　　称G为无向图；否则称G为有向图。为区别起见 ，称有向图 的边为弧，记（v ,v ), 在图上用箭线表示。

　　• 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为 所谓图，就是顶点和边的集合， V，边的集合记为 ，则图可以表示为：G＝ ，边的集合记为E，则图可以表示为： ＝ ），点代表被研究的事物 （V，E），点代表被研究的事物，边代表事 ， ），点代表被研究的事物， 物之间的联系，因此， 物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存 每条边都有两个端点。 在，每条边都有两个端点。 • 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无 在画图时，顶点的位置、 关紧要的， 关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同 则两个图相同。 的，则两个图相同。

　　所有割集中容量最小的一个割集。 最小割集 所有割集中容量最小的一个割集。

　　网络中的最大流量f 网络中的最大流量 max 值大小是由网络 中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。 中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。